Новая философская энциклопедия - модальная логика

Первые исследования в области модальной логики принадлежат Аристотелю, который наряду с ассерторическими силлогизмами ввел в обращение модальные силлогизмы, в которых хотя бы одна из посылок является высказыванием типа «А необходимо принадлежит В», «А возможно принадлежит В». При этом необходимое Аристотель не считал возможным. Следующий шаг в развитии модальной логики сделал ученик Аристотеля Теофраст, который стал относить модальность к высказываниям в целом, а не к отдельным понятиям. Кроме того, он принял тезис: все необходимое возможно, что открыло дорогу к определению возможности через необходимость: «возможно А» эквивалентно «не необходимо не-А». В средние века  произошло разделение модальностей на модальности de dicto (о речи), относящиеся к высказыванию в целом, и модальности de re (о вещи), относящиеся к свойствам. Современные исследования модальной логики связаны во многом с именем К. Льюиса, построившего исчисления SI — S6. Характерным примером могут служить его исчисления S4 и S5 (в трактовке К. Геделя). Эти исчисления строятся как расширения классической логики высказываний и классической логики предикатов. Язык логики пополняется модальным оператором О (необходимо), действующим на предложения языка. Оператор возможности 0 вводится как сокращение для -i D Определение формулы пополняется пунктом: если А — формула, то А — тоже формула.

Аксиоматику пропозиционального модального исчисления получаем, добавляя к аксиомным схемам и правилам вывода классической логики высказываний модальную схему аксиом D(A э В) => (QA => DB) и правило вывода:  «если доказуемо А => В, то доказуемо DA=> DB» (правило С). Это пропозициональное модальное исчисление С2. Заменив правило С более сильным правилом вывода: «доказуемо А —> доказуемо DA» (правило Гёделя) и добавив к С2 одну из аксиомных схем ОАзА, ОАз DDA, -ОАз D—.DA, получаем пропозициональные модальные исчисления Т, S4 и S5 соответственно. С этими исчислениями не возникает никаких принципиальных проблем.

Совершенно иная ситуация возникает, если эти «модальные приставки» добавлять к классической логике предикатов, поскольку в предикатных модальных контекстах может нарушаться закон подстановочности тождественных VxVy(x = у =) (F(x) => F(y)). К примеру (пример Куайна), утверждение «необходимо, что 9 больше 7» и его экзистенциальное обобщение «Зх такой, что необходимо, что x больше 7» верно, если x есть 9 и 9 есть натуральное число, но неверно, если x есть 9 и 9 есть число планет.

Согласно Куайну, вхождение переменной x в открытую формулу «необходимо, что x больше 7» референциально неясно, поскольку нельзя гарантировать, что, будучи связанной, переменная x именует в точности один объект. Поэтому модальная логика предикатов  требует некоторого изменения принципов, на которых построена немодальная стандартная теория квантификации.

В частности, экзистенциальное обобщение в модальных контекстах должно основываться на следующем правиле: Э-квантификация открытого предложения справедлива, если, и только если, имеется замкнутый терм, подстановка которого на место переменной квантификации приводит к истинному предложению. Соответственно подстановочность тождественного имеет место, если, и только если, взаимозаменяемые термины являются синонимами.

Принятие такого принципа в теории квантификации ведет к т. н. подстановочной интерпретации кванторов, в отличие от стандартной, или объектной, их интерпретации. В стандартной интерпретации значениями связанных переменных являются объекты универсума, в подстановочной — термины языка. Подстановочная теория ничего не говорит о существовании или несуществовании объектов; она исследует лишь определенные отношения между утверждениями языка. Все истины теорий подстановочного типа являются в общем случае лингвистическими, и их использование для описания конкретных ситуаций требует дополнительных допущений о характере универсума (множестве объектов, допустимых в данной ситуации). Еще один способ обоснования квантификации в модальных контекстах основан на допущении, согласно которому значениями связанных переменных в модальных контекстах являются не объекты и не термины, а смыслы, т. е. определенные способы понимания объектов. При этом одному и тому же объекту могут соответствовать различные смыслы (подробнее см.: Именования теория. Экстенсиональность).

С учетом этих разъяснений становится понятным, что, хотя чисто технически нет никаких препятствий к построению предикатных модальных исчислений С2, Т, S4, S5 посредством указанных выше «модальных приставок», в этих исчислениях (за исключением S5) нельзя гарантировать безусловного выполнения принципа подстановочности тождественного. Поэтому поступают следующим образом: помимо предикатных исчислений С2, Т, S4 строятся исчисления ВС2, ВТ, BS4, которые отличаются от С2, Т, S4 введением дополнительной аксиомной схемы, известной как формула Баркан: VxDA(x) з DVxA(x) (в S5 эта формула является теоремой). Принцип подстановочности тождественного строго выполняется в ВС2, ВТ, BS4, S5. В модальных предикатных исчислениях с равенством («модальная приставка» присоединяется в этом случае к классическому исчислению предикатов с равенством) для обеспечения подстановочности тождественного должно выполняться условие VxVy(x = у => D(x = y)).

Содержательные трудности возникают и в связи с самой «модальной приставкой». Исчисления с правилом Геделя и аксиомной схемой DA э А называются нормальными, т. е. соответствующими содержательным стандартам логической необходимости: всякая теорема логически необходима (логически истинна) и всякое необходимо истинное утверждение истинно. Все остальные исчисления не считаются нормальными, и для них отдельно должны быть указаны смыслы, в каких они используют операторы необходимости и возможности. Вот некоторые возможные смыслы этих операторов, отличные от указанного выше «алетического» смысла и 0.1) означает доказуемость, а 0 — непротиворечивость (интуиционистские модальности, не исключающие, впрочем, существования специальной логики доказуемости); 2) D означает обязательность в смысле необходимости соблюдения норм, а 0 — позволение, или отсутствие запрещения (деонтические модальности); 3) D означает приемлемость эмпирической гипотезы, а 0 — ее неотвергаемость (индуктивные модальности); 4) О означает «везде» или «всегда», а 0 — «кое-где» или «иногда» (пространственно-временные модальности); 5) означает «знаю, что», а 0 — «не знаю не» (элистемические модальности). Существенно, что этот список потенциально неограничен (т. е. он ограничен только нашей изобретательностью, а не существом дела).

Синтаксические характеристики операторов о и 0 во всех этих случаях должны быть различными. Напр., для деонтических модальностей не проходит аксиомная схема пАэ А, поскольку нормы могут быть нарушены. Вместо нее должна использоваться аксиомная схема ПА э А (обязательная норма допустима).

Для всех этих и многих других модальных исчислений остро встала проблема их формальной интерпретации: построение адекватной им формальной семантики, в которой: 1) каждая формула исчисления является либо истинной, либо ложной; 2) каждая доказуемая формула истинна (непротиворечивость исчисления); 3) каждая истинная формула доказуема (полнота исчисления); 4) установлена тесная связь с содержательной семантикой.

Первый шаг был сделан Р. Карнапом. Используя идеи Лейбница, он строит семантику на основе множества описаний состояния (положений дел, характеризуемых средствами языка, или «возможных миров»). Высказывание «А возможно» семантически характеризуется им как «А истинно хотя бы в одном описании состояния (возможном мире)» и высказывание «А необходимо» как «А истинно во всех описаниях состояния (возможных мирах)».

Следующий шаг связан с именем С. Крипке. Он отказался от обязательного представления возможного мира в виде описания состояния, зависящего от структуры логического языка. Такое представление сохраняется только в канонических моделях (максимально непротиворечивых множествах), тогда как в общем случае возможный мир — это просто элемент произвольного непустого множества (возможных миров). При этом допускается возможность существования изолированных элементов такого множества (элементов, не связанных ни с какими другими элементами множества).

Для формального выражения этой идеи Крипке вводит отношение достижимости — некоторое бинарное отношение R, определимое на множестве возможных миров. Пусть а и b — возможные миры.  Тогда, если имеет место а R Ь, то эти миры связаны: из мира а можно достичь мира b. В противном случае это оказывается невозможным. Формальные семантики для различных исчислений различаются теперь только свойствами отношения R. Так, чтобы получить адекватную семантику для S4, достаточно предположить, что отношение R рефлексивно и транзитивно. Если дополнительно предположить симметричность этого отношения, то получим адекватную семантику для S5. В этом последнем случае каждый возможный мир достижим из каждого, и надобность в специальном отношении достижимости отпадает. Предложенная Карнапом формальная модальная семантика соответствует этому частному случаю и годится, следовательно, только для S5.

Далее, для каждой предикатной модели каждый мир w из множества возможных миров W, на котором определено бинарное отношение достижимости R, характеризуется непустым множеством D индивидов, существующих в этом мире. Существует также выделенный элемент w*, называемый действительным миром. Для разных w множества D